点と直線の距離

点Ｐ、線分ＡＢ、があったときに、ＰからＡＢへの垂線の足の長さを求めるには？
要素は２次元空間内に存在するものとします。

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解法１

解説

垂線の足点 I を求めて、ベクトル PI の長さとして、距離ｄを求めます。

図よりAIの大きさは、
|AI| = |AP|cosαである。 ・・・�@

内積の公式より
AP・AB = |AP||AB|cosα ・・・�A

式�@�Aより、
|AI| = (AP・AB) / |AB|

|AI| がもとまれば、点Iの位置は、
A + ( |AI|/|AB| ) AB
= A + ( (AP・AB) / |AB||AB| ) AB
として求まります。
ベクトル IP は、Iの位置が求まったので、求まります。

double CalcDistance_Type1( const CNhPoint2d& pointP, const CNhPoint2d& pointA, const CNhPoint2d& pointB ) { CNhVector2d vectorAP = pointP - pointA; CNhVector2d vectorAB = pointB - pointA; double dLengthSquaredAB = vectorAB.CalcLengthSquared(); if( 0.0 == dLengthSquaredAB ) { // 線分ＡＢが縮退している。 return vectorAP.CalcLength(); } CNhPoint2d pointI = pointA + vectorAP.CalcInnerProduct( vectorAB ) / dLengthSquaredAB * vectorAB; return (pointI - pointP).CalcLength(); }

考察

計算に一時変数（垂線の足点 I ）が必要なのが速度、精度の面で気になる。
が、垂線の足点 Ｉ が線分ＡＢ上にあるかどうかを、( (AP・AB) / |AB||AB| ) の値が、0〜1かどうかで判定することができます。

解法２

解説

距離 ｄ は、
d = |AP| sinα ・・・�@

外積の公式
PA × AB = |PA| |AB| sinα ・・・�A
より、sinαは、外積が求まれば求まることがわかる。

式�@、�Aより
d = |AP| sinα
　= ( PA × AB ) / |AB|
となる。
（半空間テストのために、ベクトルAPではなくPAにしている。PがABの右側なら、dは負の値として求まります。）

double CalcDistance_Type2( const CNhPoint2d& pointP, const CNhPoint2d& pointA, const CNhPoint2d& pointB ) { CNhVector2d vectorPA = pointA - pointP; CNhVector2d vectorAB = pointB - pointA; double dLengthAB = vectorAB.CalcLength(); if( 0.0 == dLengthAB ) { // 線分ＡＢが縮退している。 return vectorPA.CalcLength(); } return vectorPA.CalcOuterProduct( vectorAB ) / dLengthAB; }

考察

半空間テストに備えて、負の値が返ってくることもあるように設計してあります。

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